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Web scientifico 10 min

Blocchi formali — definizione, teorema, dimostrazione…

Questi tag mathpad strutturano gli enunciati matematici: definizioni, teoremi, proprietà, dimostrazioni, corollari, lemmi, osservazioni, esempi. Ogni blocco ha uno stile proprio (colore, cornice, barra del titolo) ed è numerato automaticamente per categoria. La lingua delle diciture («Definizione», «Teorema»…) segue l'attributo lang di <mp-course>.

Panoramica dei blocchi

<mp-definition>Una definizione. Accetta un <mp-title> come primo figlio.
<mp-theorem>Un teorema. Attributo opzionale roc per indicare una « restituzione organizzata delle conoscenze ».
<mp-property>Una proprietà matematica (spesso più tecnica di un teorema).
<mp-proof>Una dimostrazione. Spesso posizionata subito dopo un mp-theorem. Un « □ » automatico chiude il blocco.
<mp-corollary>Una conseguenza diretta di un teorema precedente.
<mp-lemma>Un lemma preparatorio, usato come passo verso una dimostrazione.
<mp-remark>Un'osservazione — nota più leggera, spesso esplicativa o contestualizzante.
<mp-example>Un esempio in linea all'interno di un paragrafo — compatto, meno visibile di un blocco dimostrazione.

<mp-definition> — esempio

HTML
<mp-definition>
  <mp-title>Funzione continua in $a$</mp-title>
  Una funzione $f$ è <strong>continua in $a$</strong> se $\lim\limits_{x \to a} f(x) = f(a)$.</mp-definition>
Risultato Funzione continua in $a$ Una funzione $f$ è continua in $a$ se $\lim\limits_{x \to a} f(x) = f(a)$.
<mp-title> è sempre il primo figlio Tutti i blocchi formali (mp-definition, mp-theorem, mp-property…) seguono lo stesso pattern: un <mp-title> opzionale come primo figlio, poi il contenuto. <mp-title> accetta le formule KaTeX (a differenza del vecchio attributo name="" che non viene renderizzato).

<mp-theorem> + <mp-proof>

Un teorema e la sua dimostrazione si posizionano tipicamente insieme. L'attributo roc (Restitution Organisée de Connaissances, convenzione della maturità francese) aggiunge una dicitura « ROC » visibile.

HTML
<mp-theorem roc>
  <mp-title>Somma di una successione geometrica</mp-title>
  Per ogni $q \neq 1$ e ogni $n \in \mathbb{N}$:  $$\sum_{k=0}^{n} q^k = \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$$
</mp-theorem>

<mp-proof>
  Sia $S_n = 1 + q + q^2 + \cdots + q^n$. Allora:  <mp-align>
    q \, S_n & = & q + q^2 + \cdots + q^{n+1} \\
    q \, S_n - S_n & = & q^{n+1} - 1 \\
    (q - 1) S_n & = & q^{n+1} - 1
  </mp-align>
  Poiché $q \neq 1$, $q - 1 \neq 0$, quindi $S_n = \dfrac{q^{n+1} - 1}{q - 1} = \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$.</mp-proof>
Risultato Somma di una successione geometrica Per ogni $q \neq 1$ e ogni $n \in \mathbb{N}$: $$\sum_{k=0}^{n} q^k = \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$$ Sia $S_n = 1 + q + q^2 + \cdots + q^n$. Allora: $$\begin{array}{rcl}q \, S_n & = & q + q^2 + \cdots + q^{n+1} \\ q \, S_n - S_n & = & q^{n+1} - 1 \\ (q - 1) S_n & = & q^{n+1} - 1\end{array}$$ Poiché $q \neq 1$, $q - 1 \neq 0$, quindi $S_n = \dfrac{q^{n+1} - 1}{q - 1} = \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$.

<mp-property> e <mp-corollary>

Funzionano come mp-theorem — stili distinti e contatori indipendenti:

HTML
<mp-property>
  <mp-title>Simmetria</mp-title>
  Per ogni $a, b \in \mathbb{R}$: $a + b = b + a$.</mp-property>

<mp-corollary>
  Di conseguenza, l'operazione somma è commutativa su $\mathbb{R}$.</mp-corollary>
Risultato Simmetria Per ogni $a, b \in \mathbb{R}$: $a + b = b + a$. Di conseguenza, l'operazione somma è commutativa su $\mathbb{R}$.

<mp-remark>, <mp-lemma>, <mp-example>

Tre blocchi secondari, più leggeri di un teorema, ciascuno con il proprio stile visivo.

HTML
<mp-remark>
  Questa proprietà non vale più in $\mathbb{N}$ — vedi $3 - 5$.</mp-remark>

<mp-lemma>
  Se $a \mid b$ e $a \mid c$, allora $a \mid (b + c)$.</mp-lemma>

<mp-example>
  $\sqrt{2}$ è irrazionale.</mp-example>
Risultato Questa proprietà non vale più in $\mathbb{N}$ — vedi $3 - 5$. Se $a \mid b$ e $a \mid c$, allora $a \mid (b + c)$. $\sqrt{2}$ è irrazionale.

Fare riferimento a un blocco

Assegni un id HTML standard al blocco di destinazione, poi faccia riferimento ad esso con <mp-ref target="...">. Il riferimento mostra automaticamente il numero (« 3 ») o la dicitura completa (« Teorema 3 ») a seconda dell'attributo format.

HTML
<mp-theorem id="thm-bolzano">
  <mp-title>Teorema dei valori intermedi</mp-title>
  …
</mp-theorem>

Secondo <mp-ref target="thm-bolzano" format="full"></mp-ref>, esiste $c \in [a;b]$ tale che …
Pulsanti nell'editor Nell'editor online: il menu Strutture propone un pulsante per ogni blocco formale (Definizione, Teorema, Proprietà…). Ciascuno inserisce lo scheletro con un <mp-title> di esempio.

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