Mathematische Formeln in LaTeX – Gleichungen, Brüche, Matrizen

LaTeX ist der Standard für mathematische Formeln. Diese Anleitung behandelt die Grundlagen: mathematische Modi, Brüche, Wurzeln, Summen, Integrale, Matrizen und häufige Symbole.

Empfohlene Pakete Fügen Sie \usepackage{amsmath, amssymb, amsfonts} in Ihre Präambel ein, um alle erweiterten mathematischen Funktionen zu nutzen.

Mathematische Modi

LaTeX unterscheidet zwei Modi für Mathematik: den Inline-Modus und den Display-Modus.

Inline-Modus

Um eine Formel in einen Absatz einzufügen, umschließen Sie sie mit $...$ oder $...$:

LaTeX

\documentclass{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[ngerman]{babel}
\usepackage{amsmath, amssymb}

\begin{document}

Die Gleichung $E = mc^2$ ist berühmt.
Es gilt auch \(a^2 + b^2 = c^2\) für ein rechtwinkliges Dreieck.
\end{document}

L'équation $E = mc^2$ est célèbre.

Abgesetzter Modus (Display)

Um eine Gleichung zentriert in einer eigenen Zeile anzuzeigen, verwenden Sie \[...\] oder die equation-Umgebung:

LaTeX

\documentclass{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[ngerman]{babel}
\usepackage{amsmath, amssymb}

\begin{document}

% Ohne Nummerierung
\[
    x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

% Mit automatischer Nummerierung
\begin{equation}
    x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\end{equation}

\end{document}

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

Brüche und Wurzeln

Brüche

Verwenden Sie \frac{Zähler}{Nenner}:

LaTeX

\documentclass{article}
\usepackage{amsmath, amssymb}

\begin{document}

\[ \frac{1}{2} + \frac{3}{4} = \frac{5}{4} \]

\[ \frac{a+b}{c+d} \]

% Verschachtelte Brüche
\[ \frac{1}{1 + \frac{1}{x}} \]

\end{document}

\[\frac{1}{2} + \frac{3}{4} = \frac{5}{4}\]

Wurzeln

Verwenden Sie \sqrt{} für die Quadratwurzel und \sqrt[n]{} für die n-te Wurzel:

LaTeX

\documentclass{article}
\usepackage{amsmath, amssymb}

\begin{document}

\[ \sqrt{2} \qquad \sqrt{x^2 + y^2} \]

\[ \sqrt[3]{8} = 2 \qquad \sqrt[n]{a} \]

\end{document}

\[\sqrt{x^2 + y^2} \qquad \sqrt[3]{8} = 2\]

Hoch- und Tiefstellungen

Verwenden Sie ^ für Hochstellungen und _ für Tiefstellungen:

LaTeX

\documentclass{article}
\usepackage{amsmath, amssymb}

\begin{document}

$x^2$ --- einfacher Exponent
$x^{10}$ --- mehrstelliger Exponent (geschweifte Klammern nötig)
$x_i$ --- einfacher Index, $x_{ij}$ --- mehrstelliger Index
$a_n^2$ --- beide kombiniert, $x_1^{(k)}$ --- erweiterte Notation
% Grenzwerte\[ \lim_{n \to \infty} a_n \]

\end{document}

\[x^2 \quad x^{10} \quad x_i \quad x_{ij} \quad a_n^2 \quad \lim_{n \to \infty} a_n\]

Summen, Produkte und Integrale

Summen und Produkte

LaTeX

\documentclass{article}
\usepackage{amsmath, amssymb}

\begin{document}

% Summe
\[ \sum_{i=1}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2} \]

% Produkt
\[ \prod_{i=1}^{n} i = n! \]

% Doppelte Summe
\[ \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m} a_{ij} \]

\end{document}

\[\sum_{i=1}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2}\]

Integrale

LaTeX

\documentclass{article}
\usepackage{amsmath, amssymb}

\begin{document}

% Einfaches Integral
\[ \int_0^1 x^2 \, dx \]

% Doppeltes Integral
\[ \iint_D f(x,y) \, dx \, dy \]

% Dreifaches Integral
\[ \iiint_V f(x,y,z) \, dx \, dy \, dz \]

% Konturintegral
\[ \oint_C f(z) \, dz \]

\end{document}

\[\int_0^1 x^2 \, dx = \frac{1}{3}\]

Abstände Verwenden Sie \, für einen kleinen Abstand vor dx. Dies verbessert die Lesbarkeit von Integralen.

Matrizen

Die matrix-Umgebung (mit dem Paket amsmath) ermöglicht das Erstellen von Matrizen:

LaTeX

\documentclass{article}
\usepackage{amsmath, amssymb}

\begin{document}

% Matrix mit runden Klammern
\[ \begin{pmatrix}
    a & b \\
    c & d
\end{pmatrix} \]

% Matrix mit eckigen Klammern
\[ \begin{bmatrix}
    1 & 2 & 3 \\
    4 & 5 & 6
\end{bmatrix} \]

% Matrix mit Strichen (Determinante)
\[ \begin{vmatrix}
    a & b \\
    c & d
\end{vmatrix} = ad - bc \]

\end{document}

\[\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \quad \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}\]

Umgebung	Begrenzer	Verwendung
`matrix`	Keine	Matrix ohne Begrenzer
`pmatrix`	( )	Runde Klammern
`bmatrix`	[ ]	Eckige Klammern
`vmatrix`	\| \|	Determinante
`Vmatrix`	\|\| \|\|	Norm

Häufige Symbole

Griechische Buchstaben

Befehl	Ausgabe	Befehl	Ausgabe
`\alpha`	$\alpha$	`\beta`	$\beta$
`\gamma`	$\gamma$	`\delta`	$\delta$
`\epsilon`	$\epsilon$	`\theta`	$\theta$
`\lambda`	$\lambda$	`\mu`	$\mu$
`\pi`	$\pi$	`\sigma`	$\sigma$
`\omega`	$\omega$	`\Omega`	$\Omega$

Operatoren und Relationen

Befehl	Ausgabe	Befehl	Ausgabe
`\times`	$\times$	`\div`	$\div$
`\pm`	$\pm$	`\mp`	$\mp$
`\leq`	$\leq$	`\geq`	$\geq$
`\neq`	$\neq$	`\approx`	$\approx$
`\in`	$\in$	`\notin`	$\notin$
`\subset`	$\subset$	`\supset`	$\supset$
`\cup`	$\cup$	`\cap`	$\cap$
`\infty`	$\infty$	`\partial`	$\partial$

Zahlenmengen (mit amssymb)

LaTeX

\documentclass{article}
\usepackage{amsmath, amssymb}

\begin{document}

$\mathbb{N}$ --- Natürliche Zahlen,
$\mathbb{Z}$ --- Ganze Zahlen,
$\mathbb{Q}$ --- Rationale Zahlen,
$\mathbb{R}$ --- Reelle Zahlen,
$\mathbb{C}$ --- Komplexe Zahlen
\[ \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C} \]

\end{document}

\[\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}\]

Ausgerichtete Gleichungen

Die align-Umgebung ermöglicht das Ausrichten mehrerer Gleichungen an einem gemeinsamen Punkt (meist dem =-Zeichen):

LaTeX

\documentclass{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[ngerman]{babel}
\usepackage{amsmath, amssymb}

\begin{document}

\begin{align}
    (a+b)^2 &= (a+b)(a+b) \\
            &= a^2 + ab + ba + b^2 \\
            &= a^2 + 2ab + b^2
\end{align}

% Ohne Nummerierung
\begin{align*}
    f(x) &= x^2 + 2x + 1 \\
         &= (x+1)^2
\end{align*}

\end{document}

\[\begin{align*} (a+b)^2 &= (a+b)(a+b) \\ &= a^2 + ab + ba + b^2 \\ &= a^2 + 2ab + b^2 \end{align*}\]

Mathematische Funktionen

Standardfunktionen müssen in Antiqua (nicht kursiv) geschrieben werden. Verwenden Sie die dafür vorgesehenen Befehle:

LaTeX

\documentclass{article}
\usepackage{amsmath, amssymb}

\begin{document}

$\sin(x)$ \quad $\cos(x)$ \quad $\tan(x)$

$\log(x)$ \quad $\ln(x)$ \quad $\exp(x)$

\[ \lim_{x \to 0} f(x) \qquad \max(a,b) \qquad \min(a,b) \]

\end{document}

Häufiger Fehler Schreiben Sie nicht $sin(x)$ , was $sin(x)$ ergibt (kursiv). Verwenden Sie $\sin(x)$ , was $\sin(x)$ ergibt (Antiqua).

Vollständiges Beispiel

LaTeX

\documentclass{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[ngerman]{babel}
\usepackage{amsmath, amssymb}

\title{Mathematische Formeln}
\author{Ihr Name}

\begin{document}
\maketitle

\section{Quadratische Gleichung}

Die Gleichung $ax^2 + bx + c = 0$ hat die Lösungen:
\[
    x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

\section{Bemerkenswerte Identitäten}

\begin{align*}
    (a+b)^2 &= a^2 + 2ab + b^2 \\
    (a-b)^2 &= a^2 - 2ab + b^2 \\
    (a+b)(a-b) &= a^2 - b^2
\end{align*}

\section{Analysis}

Die Ableitung von $f(x) = x^n$ ist:
\[
    f'(x) = nx^{n-1}
\]

Das Integral von $\sin(x)$:
\[
    \int \sin(x) \, dx = -\cos(x) + C
\]

\end{document}

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Befehl	Ausgabe	Befehl	Ausgabe
`\alpha`	\(\alpha\)	`\beta`	\(\beta\)
`\gamma`	\(\gamma\)	`\delta`	\(\delta\)
`\epsilon`	\(\epsilon\)	`\theta`	\(\theta\)
`\lambda`	\(\lambda\)	`\mu`	\(\mu\)
`\pi`	\(\pi\)	`\sigma`	\(\sigma\)
`\omega`	\(\omega\)	`\Omega`	\(\Omega\)

Befehl	Ausgabe	Befehl	Ausgabe
`\times`	\(\times\)	`\div`	\(\div\)
`\pm`	\(\pm\)	`\mp`	\(\mp\)
`\leq`	\(\leq\)	`\geq`	\(\geq\)
`\neq`	\(\neq\)	`\approx`	\(\approx\)
`\in`	\(\in\)	`\notin`	\(\notin\)
`\subset`	\(\subset\)	`\supset`	\(\supset\)
`\cup`	\(\cup\)	`\cap`	\(\cap\)
`\infty`	\(\infty\)	`\partial`	\(\partial\)