Vorlesungsskript-Vorlage — Sätze, Definitionen, Aufgaben (nummeriert)

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% --- Sätze, Definitionen, etc.\ mit Nummerierung pro Abschnitt ---
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\newenvironment{merksatz}{%
  \par\smallskip\noindent\textcolor{blue!60!black}{\rule{4pt}{1.4em}}\hspace{0.5em}%
  \textbf{\textcolor{blue!60!black}{Merksatz.}}\space%
}{\par\smallskip}

\title{Vorlesungsskript --- Folgen und Grenzwerte}
\author{}
\date{}

\begin{document}
\maketitle

\section{Konvergenz von Folgen}

\begin{definition}[Konvergente Folge]
Eine Folge $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ reeller Zahlen \emph{konvergiert gegen} $a \in \mathbb{R}$, wenn zu jedem $\varepsilon > 0$ ein Index $N \in \mathbb{N}$ existiert, sodass für alle $n \geq N$ gilt:
\[ |a_n - a| < \varepsilon. \]
Wir schreiben dann $\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n = a$ oder kurz $a_n \to a$.
\end{definition}

\begin{bemerkung}
Anschaulich liegen ab einem hinreichend großen Index alle Folgenglieder beliebig nahe am Grenzwert.
\end{bemerkung}

\begin{beispiel}
Die Folge $a_n = \dfrac{1}{n}$ konvergiert gegen $0$. Wir wählen $N = \left\lceil \dfrac{1}{\varepsilon} \right\rceil$; dann gilt für $n \geq N$:
\[ |a_n - 0| = \frac{1}{n} \leq \frac{1}{N} \leq \varepsilon. \]
\end{beispiel}

\section{Grenzwertsätze}

\begin{satz}[Rechenregeln für Grenzwerte]
\label{satz:rechenregeln}
Seien $a_n \to a$ und $b_n \to b$. Dann gilt:
\begin{enumerate}
  \item $a_n + b_n \to a + b$,
  \item $a_n \cdot b_n \to a \cdot b$,
  \item $\dfrac{a_n}{b_n} \to \dfrac{a}{b}$, sofern $b \neq 0$ und $b_n \neq 0$ für alle $n$.
\end{enumerate}
\end{satz}

\begin{merksatz}
Konvergenz ist eine \emph{asymptotische} Eigenschaft: das Verhalten endlich vieler Folgenglieder am Anfang spielt keine Rolle.
\end{merksatz}

\begin{satz}[Sandwichkriterium]
\label{satz:sandwich}
Seien $(a_n)$, $(b_n)$, $(c_n)$ Folgen mit $a_n \leq b_n \leq c_n$ für fast alle $n$. Falls $a_n \to L$ und $c_n \to L$, dann gilt auch $b_n \to L$.
\end{satz}

\begin{aufgabe}
Verwenden Sie Satz~\ref{satz:sandwich}, um zu zeigen, dass die Folge $b_n = \dfrac{\sin n}{n}$ gegen $0$ konvergiert.
\end{aufgabe}

\end{document}