Arithmetik-Kurs (Mittelstufe) — Teiler, gerade Zahlen, Primzahlen

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}{def}

\newtcbtheorem[use counter from=definition]{satz}{Satz}{
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}{satz}

\newtcolorbox{beispiel}{
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  title=Beispiel, fonttitle=\bfseries, coltitle=white,
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\newenvironment{bemerkung}{%
  \par\smallskip\noindent\textcolor{gray!50!black}{\rule{3pt}{1.4em}}\hspace{0.5em}%
  \textbf{Bemerkung.}\itshape\space%
}{\par\smallskip}

\newtheorem*{beweis}{Beweis}

\lstset{
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\title{Arithmetik --- Mittelstufe / Sekundarstufe~I}
\author{}
\date{}

\begin{document}
\maketitle

\section{Teiler und Vielfaches}

\begin{definition}{Teiler, Vielfaches}{teil-viel}
Seien $a$ und $b$ zwei ganze Zahlen. Wir sagen, $a$ ist ein \textbf{Teiler} von $b$, falls ein $k \in \mathbb{Z}$ existiert mit $b = k \cdot a$.
\medskip

Ist $a$ ein Teiler von $b$, so kann man auch sagen:
\begin{itemize}[nosep]
  \item $a$ \emph{teilt} $b$,
  \item $b$ ist ein \emph{Vielfaches} von $a$,
  \item $b$ ist \emph{durch $a$ teilbar}.
\end{itemize}
\end{definition}

\begin{beispiel}
Die Zahl $3$ ist ein Teiler von $153$, da $153 = 3 \cdot 51$.
\medskip

\textbf{Teiler von $132$:} man bemerkt, dass $132 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 11$. Durch Bildung aller Kombinationen erhält man die Liste der Teiler von $132$:
\\[3pt]
\centerline{$1$,~$2$,~$3$,~$4$,~$6$,~$11$,~$12$,~$22$,~$33$,~$44$,~$66$,~$132$.}
\medskip

\textbf{Teiler von $109$:} die Zahl $109$ hat genau zwei Teiler, $1$ und $109$.
\end{beispiel}

\begin{satz}{Summe zweier Vielfacher}{summe-vielf}
Sei $a \in \mathbb{Z}$. Sind $b$ und $b'$ Vielfache von $a$, so ist auch $b + b'$ ein Vielfaches von $a$.
\end{satz}

\begin{beweis}
Seien $a \in \mathbb{Z}$ und $b, b'$ Vielfache von $a$. Es existieren $k, k' \in \mathbb{Z}$ mit $b = ak$ und $b' = ak'$. Damit gilt:
\[ b + b' = ak + ak' = a(k + k'), \]
also ist $b + b'$ ein Vielfaches von $a$. \qedhere
\end{beweis}

\section{Gerade und ungerade Zahlen}

\begin{definition}{Gerade, ungerade}{ger-ung}
Sei $a \in \mathbb{Z}$.
\begin{itemize}[nosep]
  \item $a$ heißt \textbf{gerade}, falls $a$ durch $2$ teilbar ist, d.\,h.\ falls ein $k \in \mathbb{Z}$ existiert mit $a = 2k$.
  \item $a$ heißt \textbf{ungerade}, falls $a$ nicht durch $2$ teilbar ist, d.\,h.\ falls ein $k \in \mathbb{Z}$ existiert mit $a = 2k + 1$.
\end{itemize}
\end{definition}

\begin{beispiel}
$17 = 2 \cdot 8 + 1$ ist ungerade. \\
$158 = 2 \cdot 79$ ist gerade.
\end{beispiel}

\begin{satz}{Quadrat einer ungeraden Zahl}{quadrat-ung}
Sei $a \in \mathbb{Z}$. Ist $a$ ungerade, so ist auch $a^2$ ungerade.
\end{satz}

\begin{beweis}
Sei $a$ ungerade. Es existiert $k \in \mathbb{Z}$ mit $a = 2k + 1$. Dann gilt:
\begin{align*}
a^2 &= (2k+1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1 = 2N + 1,
\end{align*}
mit $N = 2k^2 + 2k \in \mathbb{Z}$. Folglich ist $a^2$ ungerade. \qedhere
\end{beweis}

\begin{satz}{Umkehrung}{umkehr}
Sei $a \in \mathbb{Z}$. Ist $a^2$ ungerade, so ist auch $a$ ungerade.
\end{satz}

\begin{beweis}[Beweis durch Kontraposition]
Wir zeigen: ,,wenn $a$ gerade ist, dann ist $a^2$ gerade``. Sei $a$ gerade, also $a = 2k$ für ein $k \in \mathbb{Z}$. Dann gilt $a^2 = (2k)^2 = 4k^2 = 2 \cdot (2k^2)$, also ist $a^2$ gerade. \qedhere
\end{beweis}

\begin{bemerkung}
Die beiden vorherigen Sätze lassen sich zur folgenden Äquivalenz zusammenfassen:
\\
\centerline{$a^2$ ist ungerade \quad $\Longleftrightarrow$ \quad $a$ ist ungerade.}
\end{bemerkung}

\section{Primzahlen}

\begin{definition}{Primzahl}{prim}
Eine positive ganze Zahl heißt \textbf{Primzahl}, wenn sie genau zwei verschiedene Teiler besitzt: $1$ und sich selbst.
\end{definition}

\begin{beispiel}
Die Zahlen $2, 3, 5, 7, 11, 13$ sind Primzahlen. \\
Die Zahl $60$ ist keine Primzahl: ihre Teiler sind $1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60$.
\end{beispiel}

\subsection*{Sieb des Eratosthenes (Python)}

Der folgende Algorithmus, inspiriert vom Sieb des Eratosthenes, gibt alle Primzahlen unter $100$ aus:

\begin{lstlisting}
for i in range(2, 101):
    primzahl = True
    for j in range(2, i):
        if i % j == 0:
            primzahl = False
    if primzahl:
        print(i)
\end{lstlisting}

\end{document}