Übungsaufgabe Abitur Mathematik — Analysis (Funktionsuntersuchung, Integral, Anwendung)

\documentclass[11pt,a4paper]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[ngerman]{babel}
\usepackage[margin=2cm]{geometry}
\usepackage{amsmath, amssymb}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{fancyhdr}

\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\rhead{Übungsaufgabe}
\lhead{Abitur Mathematik --- Analysis}
\rfoot{Seite \thepage}

\begin{document}

\begin{center}
{\large\bfseries Übungsaufgabe Abitur --- Analysis}\\[0.3em]
{\small Zeit: 90 Minuten --- Hilfsmittel: wissenschaftlicher Taschenrechner --- 30 Punkte}
\end{center}

\noindent\hrulefill

\section*{Aufgabe 1 \hfill (12 Punkte) --- Funktionsuntersuchung}

Gegeben sei die Funktion $f$ mit
\[ f(x) = \frac{1}{4}\, x^3 - \frac{3}{2}\, x^2 + 2x \quad \text{für } x \in \mathbb{R}. \]

\begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*)}]
  \item Berechnen Sie die Nullstellen von $f$.
  \item Bestimmen Sie das Verhalten von $f$ für $x \to \pm \infty$.
  \item Untersuchen Sie $f$ auf Extrem- und Wendepunkte. Geben Sie Art und Koordinaten an.
  \item Skizzieren Sie den Graphen von $f$ im Bereich $-1 \leq x \leq 5$.
\end{enumerate}

\section*{Aufgabe 2 \hfill (10 Punkte) --- Integralrechnung}

Gegeben ist die Funktion $g$ mit $g(x) = x \cdot e^{-x}$ für $x \geq 0$.

\begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*)}]
  \item Zeigen Sie durch partielle Integration, dass eine Stammfunktion von $g$ gegeben ist durch
  \[ G(x) = -(x + 1) \cdot e^{-x}. \]
  \item Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die der Graph von $g$ mit der $x$-Achse für $0 \leq x \leq 2$ einschließt. Runden Sie auf zwei Nachkommastellen.
  \item Bestimmen Sie den Grenzwert
  \[ \lim_{b \to \infty} \int_0^b g(x)\, dx. \]
\end{enumerate}

\section*{Aufgabe 3 \hfill (8 Punkte) --- Anwendung}

In einem Zoo wird die Tierpopulation in einem Gehege durch die Funktion $N$ modelliert:
\[ N(t) = 50 + 30\, \ln(t + 1), \qquad t \geq 0, \]
wobei $t$ die Zeit in Jahren und $N(t)$ die Anzahl der Tiere bezeichnet.

\begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*)}]
  \item Wie viele Tiere sind zum Zeitpunkt $t = 0$ im Gehege?
  \item Bestimmen Sie den Zeitpunkt, zu dem die Population $100$ Tiere überschreitet.
  \item Berechnen Sie $N'(t)$ und interpretieren Sie das Vorzeichen von $N'(t)$ im Sachzusammenhang.
\end{enumerate}

\end{document}