Feuille de TD complète sur les séries de Fourier, niveau Bac+2 / Licence 2 / école d'ingénieur. Dix exercices progressifs : parité (produits de fonctions paires/impaires, intégrales sur [-T,T]), calcul d'intégrale trigonométrique, série de Fourier d'un créneau ±1 avec démonstration de la formule de Leibniz π/4 = Σ(-1)^n/(2n+1), série de f(x)=x² sur [-π,π] aboutissant à Σ1/n⁴ = π⁴/90, application de Parseval pour ∫cos⁴, équation différentielle y''+y=cos(t), série de |x|, fonction triangulaire π-périodique, et résolution de y''+2y=|sin(t)| (étoile). Format paysage 2 colonnes pour impression.
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\textbf{\large Exercice \arabic{numexo}}\par\smallskip}
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\textbf{\large Exercice \arabic{numexo}}~{\small\itshape (#1)}\par\smallskip}
\setlength{\columnsep}{1cm}
\title{Séries de Fourier --- Travaux dirigés}
\author{}
\date{}
\begin{document}
\maketitle
\exercice
Soit $f_1$ et $f_2$ deux fonctions impaires et $g_1$ et $g_2$ deux fonctions paires.
\begin{enumerate}[nosep, label=\arabic*.]
\item Quelle est la parité de $g_1 \times g_2$, de $f_1 \times f_2$ et de $f_1 \times g_1$ ?
\item Montrer que $\disp{\int_{-T}^{T} f_1(x)\, \mathrm{d}x = 0}$.
\item Montrer que $\disp{\int_{-T}^{T} g_1(x)\, \mathrm{d}x = 2 \int_{0}^{T} g_1(x)\, \mathrm{d}x}$.
\end{enumerate}
\vs
\exercice
Calculer : $\disp{\int_{0}^{\pi} \sin(t) \cos(2t)\, \mathrm{d}t}$.
\vs
\exercice
Soit $f$ la fonction $2\pi$-périodique définie par :
\[
\left\{
\begin{array}{l}
f(x) = 1 \text{ sur } ]0\,;\,\pi[ \\
f(x) = -1 \text{ sur } ]-\pi\,;\,0[ \\
f(0) = f(\pi) = 0
\end{array}
\right.
\]
\begin{enumerate}[nosep, label=\arabic*.]
\item Représenter une ébauche du graphe de $f$ sur $]-2\pi\,;\,2\pi[$.
\item Montrer que $\disp{b_n = \frac{4}{n\pi}}$ pour tout $n$ impair de $\mathbb{N}^*$ et $b_n = 0$ pour tout $n$ pair de $\mathbb{N}^*$.
\item En déduire le développement de $f$ en série de Fourier.
\item Montrer alors que $\disp{\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} = \frac{\pi}{4}}$.
\item En utilisant la formule de Parseval, calculer $\disp{\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{(2n+1)^2}}$.
\end{enumerate}
\vs
\exercice
Soit $f$ la fonction $2\pi$-périodique définie par $f(x) = x^2$ sur $[-\pi, \pi]$.
\begin{enumerate}[nosep, label=\arabic*.]
\item Tracer dans un repère une ébauche du graphe de $f$ sur l'intervalle $[-2\pi, 2\pi]$.
\item Montrer que $a_0 = \dfrac{\pi^2}{3}$ et que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, $\disp{a_n = \frac{4(-1)^n}{n^2}}$.
\item En déduire le développement en série de Fourier de $f$.
\item La fonction $f$ satisfait-elle aux conditions du théorème de Dirichlet ?
\item En déduire la somme $\disp{\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n^2}}$.
\item Montrer que $\disp{\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^4} = \frac{\pi^4}{90}}$.
\end{enumerate}
\vs
\exercice
À l'aide de l'égalité de Parseval, montrer que :
\[ \int_{-\pi}^{\pi} \cos^4 x\, \mathrm{d}x = \frac{3\pi}{4}. \]
\vs
\exercice
Résoudre l'équation différentielle :
\[ y'' + y = \cos(t). \]
\vs
\exercice
Soit $f$ la fonction $2\pi$-périodique définie sur $]-\pi\,;\,\pi[$ par $f(x) = |x|$.
En développant $f$ en série de Fourier, retrouver les valeurs de
\[ \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2} \qquad \text{et} \qquad \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^4}. \]
\vs
\exercice
Soit $f$ une fonction de période $2\pi$, impaire et définie par $f(x) = 1 - \cos(x)$ pour $0 \leq x < \pi$, et $f(\pi) = 0$.
\begin{enumerate}[nosep, label=\arabic*.]
\item Déterminer la série de Fourier de $f$ et préciser sa convergence.
\item En déduire $\dfrac{\pi}{4}$ comme somme d'une série.
\end{enumerate}
\vs
\exerciceopt{*}
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$, paire, $\pi$-périodique, telle que $f(t) = \dfrac{\pi}{2} - t$ sur $[0\,;\,\pi/2]$.
\begin{enumerate}[nosep, label=\arabic*.]
\item Construire la représentation graphique de $f$ sur $[-\pi\,;\,\pi]$.
\item Déterminer les coefficients de Fourier de $f$ (on distinguera les valeurs de $a_n$ suivant la parité de $n$, pour $n$ non nul).
\item La fonction $f$ satisfait-elle aux conditions de Dirichlet ?
\item Soit $\disp{S(t) = \frac{\pi^2}{8} - \sum_{p=0}^{+\infty} \frac{1}{(2p+1)^2} \cos\big(2(2p+1)t\big)}$. Expliciter $S(t)$ sur $[0\,;\,\pi/2]$ puis sur $[\pi/2\,;\,\pi]$.
\item Calculer $\disp{\sum_{p=0}^{+\infty} \frac{1}{(2p+1)^2}}$ en utilisant la série de Fourier précédente.
\item Calculer ensuite $\disp{\sum_{p=0}^{+\infty} \frac{1}{(2p+1)^4}}$.
\end{enumerate}
\vs
\exerciceopt{**}
Résoudre l'équation différentielle :
\[ y'' + 2y = |\sin(t)|. \]
\end{document}
