Sujet bac mathématiques spécialité — 4 exercices types (Terminale)

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\rhead{Sujet d'entraînement}
\lhead{Bac --- Mathématiques (spécialité)}
\rfoot{Page \thepage}

\begin{document}

\begin{center}
{\large\bfseries Sujet d'entraînement --- Mathématiques spécialité}\\[0.3em]
{\small Durée : 4 heures --- Calculatrice autorisée --- Barème indicatif sur 20 points}
\end{center}

\noindent\hrulefill

\section*{Exercice 1 \hfill (5 points) --- Suites et limites}

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 2$ et, pour tout $n \in \mathbb{N}$ :
\[ u_{n+1} = \frac{1}{2}\, u_n + 3. \]

\begin{enumerate}[label=\textbf{\arabic*.}]
  \item Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$.
  \item On admet que la suite est croissante et majorée par $6$. En déduire qu'elle est convergente.
  \item Soit $\ell$ sa limite. Démontrer que $\ell = 6$.
  \item On pose $v_n = u_n - 6$. Démontrer que $(v_n)$ est géométrique. Préciser sa raison et son premier terme.
  \item En déduire l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.
\end{enumerate}

\section*{Exercice 2 \hfill (5 points) --- Probabilités}

Une urne contient 5 boules rouges et 3 boules bleues, indiscernables au toucher. On tire au hasard et sans remise 2 boules de l'urne.

\begin{enumerate}[label=\textbf{\arabic*.}]
  \item Représenter la situation par un arbre pondéré.
  \item Calculer la probabilité de tirer 2 boules rouges.
  \item Calculer la probabilité de tirer exactement 1 boule rouge.
  \item Soit $X$ la variable aléatoire égale au nombre de boules rouges tirées. Donner la loi de $X$ puis calculer $E(X)$.
\end{enumerate}

\section*{Exercice 3 \hfill (5 points) --- Géométrie dans l'espace}

Dans un repère orthonormé $(O\,;\,\vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$, on donne les points $A(1,0,2)$, $B(3,1,0)$ et $C(0,2,1)$.

\begin{enumerate}[label=\textbf{\arabic*.}]
  \item Calculer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$.
  \item Démontrer que $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ne sont pas colinéaires.
  \item Déterminer un vecteur normal au plan $(ABC)$.
  \item En déduire une équation cartésienne du plan $(ABC)$.
\end{enumerate}

\section*{Exercice 4 \hfill (5 points) --- Étude de fonction et intégrale}

Soit $f$ la fonction définie sur $[0, 2]$ par $f(x) = x e^{-x}$.

\begin{enumerate}[label=\textbf{\arabic*.}]
  \item Étudier les variations de $f$ sur $[0, 2]$.
  \item Calculer $f(1)$ et donner une valeur approchée à $10^{-2}$ près.
  \item Démontrer que $F(x) = -(x+1) e^{-x}$ est une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$.
  \item En déduire la valeur exacte de $\displaystyle \int_0^1 x e^{-x}\, dx$.
\end{enumerate}

\end{document}