Vollständiges Übungsblatt zu Fourier-Reihen auf Hochschulniveau (Bachelor / Vordiplom / Ingenieurschule). Zehn aufeinander aufbauende Aufgaben: Symmetrie von Produkten gerader/ungerader Funktionen, trigonometrisches Integral, Fourier-Reihe einer Rechteckschwingung ±1 mit Herleitung der Leibnizschen Formel π/4 = Σ(-1)^n/(2n+1), Fourier-Reihe von f(x)=x² auf [-π,π] mit Σ1/n⁴ = π⁴/90, Anwendung der Parsevalschen Gleichung für ∫cos⁴, Differentialgleichung y''+y=cos(t), Reihe von |x|, π-periodische Dreieckfunktion sowie y''+2y=|sin(t)| (Stern). Querformat zweispaltig zum Drucken.
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\textbf{\large Aufgabe \arabic{numauf}}\par\smallskip}
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\title{Fourier-Reihen --- Übungsblatt}
\author{}
\date{}
\begin{document}
\maketitle
\aufgabe
Seien $f_1, f_2$ zwei ungerade und $g_1, g_2$ zwei gerade Funktionen.
\begin{enumerate}[nosep, label=\arabic*.]
\item Bestimmen Sie die Symmetrie von $g_1 \times g_2$, $f_1 \times f_2$ und $f_1 \times g_1$.
\item Zeigen Sie, dass $\disp{\int_{-T}^{T} f_1(x)\, \mathrm{d}x = 0}$.
\item Zeigen Sie, dass $\disp{\int_{-T}^{T} g_1(x)\, \mathrm{d}x = 2 \int_{0}^{T} g_1(x)\, \mathrm{d}x}$.
\end{enumerate}
\vs
\aufgabe
Berechnen Sie $\disp{\int_{0}^{\pi} \sin(t) \cos(2t)\, \mathrm{d}t}$.
\vs
\aufgabe
Sei $f$ die $2\pi$-periodische Funktion mit:
\[
\left\{
\begin{array}{l}
f(x) = 1 \text{ auf } ]0\,;\,\pi[ \\
f(x) = -1 \text{ auf } ]-\pi\,;\,0[ \\
f(0) = f(\pi) = 0
\end{array}
\right.
\]
\begin{enumerate}[nosep, label=\arabic*.]
\item Skizzieren Sie den Graphen von $f$ auf $]-2\pi\,;\,2\pi[$.
\item Zeigen Sie, dass $\disp{b_n = \frac{4}{n\pi}}$ für alle ungeraden $n \in \mathbb{N}^*$, und $b_n = 0$ für alle geraden $n \in \mathbb{N}^*$.
\item Folgern Sie die Fourier-Reihenentwicklung von $f$.
\item Zeigen Sie, dass $\disp{\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} = \frac{\pi}{4}}$.
\item Berechnen Sie mit der Parsevalschen Gleichung $\disp{\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{(2n+1)^2}}$.
\end{enumerate}
\vs
\aufgabe
Sei $f$ die $2\pi$-periodische Funktion mit $f(x) = x^2$ auf $[-\pi, \pi]$.
\begin{enumerate}[nosep, label=\arabic*.]
\item Skizzieren Sie den Graphen von $f$ auf $[-2\pi, 2\pi]$.
\item Zeigen Sie, dass $a_0 = \dfrac{\pi^2}{3}$ und für alle $n \in \mathbb{N}^*$ : $\disp{a_n = \frac{4(-1)^n}{n^2}}$.
\item Folgern Sie die Fourier-Reihenentwicklung von $f$.
\item Erfüllt $f$ die Voraussetzungen des Satzes von Dirichlet?
\item Folgern Sie den Wert von $\disp{\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n^2}}$.
\item Zeigen Sie, dass $\disp{\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^4} = \frac{\pi^4}{90}}$.
\end{enumerate}
\vs
\aufgabe
Beweisen Sie mithilfe der Parsevalschen Gleichung:
\[ \int_{-\pi}^{\pi} \cos^4 x\, \mathrm{d}x = \frac{3\pi}{4}. \]
\vs
\aufgabe
Lösen Sie die Differentialgleichung:
\[ y'' + y = \cos(t). \]
\vs
\aufgabe
Sei $f$ die $2\pi$-periodische Funktion auf $]-\pi\,;\,\pi[$ mit $f(x) = |x|$.
Entwickeln Sie $f$ in eine Fourier-Reihe und gewinnen Sie daraus die Werte von
\[ \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2} \qquad \text{und} \qquad \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^4}. \]
\vs
\aufgabe
Sei $f$ eine $2\pi$-periodische ungerade Funktion mit $f(x) = 1 - \cos(x)$ für $0 \leq x < \pi$ und $f(\pi) = 0$.
\begin{enumerate}[nosep, label=\arabic*.]
\item Bestimmen Sie die Fourier-Reihe von $f$ und untersuchen Sie ihre Konvergenz.
\item Folgern Sie eine Reihendarstellung von $\dfrac{\pi}{4}$.
\end{enumerate}
\vs
\aufgabeopt{*}
Sei $f$ die auf $\mathbb{R}$ definierte gerade, $\pi$-periodische Funktion mit $f(t) = \dfrac{\pi}{2} - t$ auf $[0\,;\,\pi/2]$.
\begin{enumerate}[nosep, label=\arabic*.]
\item Skizzieren Sie $f$ auf $[-\pi\,;\,\pi]$.
\item Berechnen Sie die Fourier-Koeffizienten von $f$ (für $n \neq 0$ ist nach der Parität von $n$ zu unterscheiden).
\item Erfüllt $f$ die Dirichlet-Bedingungen?
\item Sei $\disp{S(t) = \frac{\pi^2}{8} - \sum_{p=0}^{+\infty} \frac{1}{(2p+1)^2} \cos\big(2(2p+1)t\big)}$. Geben Sie $S(t)$ explizit an auf $[0\,;\,\pi/2]$ und auf $[\pi/2\,;\,\pi]$.
\item Berechnen Sie $\disp{\sum_{p=0}^{+\infty} \frac{1}{(2p+1)^2}}$ mithilfe der vorherigen Fourier-Reihe.
\item Berechnen Sie anschließend $\disp{\sum_{p=0}^{+\infty} \frac{1}{(2p+1)^4}}$.
\end{enumerate}
\vs
\aufgabeopt{**}
Lösen Sie die Differentialgleichung:
\[ y'' + 2y = |\sin(t)|. \]
\end{document}
