Probabilités conditionnelles et formule de Bayes — exercice de Terminale

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\title{Probabilités conditionnelles et formule de Bayes}
\author{}
\date{}

\begin{document}
\maketitle

\section*{Exercice : test médical}

Une maladie touche $1\,\%$ d'une population. Un test de dépistage donne :
\begin{itemize}[nosep]
  \item un résultat positif chez $95\,\%$ des malades (sensibilité),
  \item un résultat négatif chez $98\,\%$ des non-malades (spécificité).
\end{itemize}

On choisit un individu au hasard dans la population. On note :
\begin{itemize}[nosep]
  \item $M$ : « l'individu est malade »,
  \item $T$ : « le test est positif ».
\end{itemize}

\subsection*{1.\ Construction de l'arbre pondéré}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[
  level distance=2.4cm,
  level 1/.style={sibling distance=4.5cm},
  level 2/.style={sibling distance=2.4cm},
  every node/.style={font=\small}
]
\node {Population}
  child {node {$M$}
    child {node {$T$}        edge from parent node[above left]  {$0{,}95$}}
    child {node {$\bar{T}$}  edge from parent node[above right] {$0{,}05$}}
    edge from parent node[above left] {$0{,}01$}
  }
  child {node {$\bar{M}$}
    child {node {$T$}        edge from parent node[above left]  {$0{,}02$}}
    child {node {$\bar{T}$}  edge from parent node[above right] {$0{,}98$}}
    edge from parent node[above right] {$0{,}99$}
  };
\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection*{2.\ Calculs}

\begin{enumerate}[label=\textbf{\arabic*.}]
  \item Calculer $P(M \cap T)$ et $P(\bar{M} \cap T)$.
  \item En déduire $P(T)$ par la formule des probabilités totales :
  \[ P(T) = P(M \cap T) + P(\bar{M} \cap T). \]
  \item Calculer la probabilité que l'individu soit réellement malade sachant que son test est positif. C'est $P(M \mid T)$.
\end{enumerate}

\subsection*{3.\ Formule de Bayes}

La formule de Bayes nous donne directement :
\[
  P(M \mid T) = \frac{P(T \mid M) \times P(M)}{P(T)}.
\]

\subsection*{4.\ Interprétation}

\begin{enumerate}[label=\textbf{\arabic*.}]
  \item Le test est-il fiable au sens où un résultat positif confirme la maladie ? Commenter.
  \item Que se passerait-il si la prévalence de la maladie était de $10\,\%$ au lieu de $1\,\%$ ? Refaire le calcul de $P(M \mid T)$.
\end{enumerate}

\end{document}