Démonstration de l'irrationalité de √2

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\title{Démonstration : irrationalité de $\sqrt{2}$}
\author{}
\date{}

\begin{document}
\maketitle

\begin{theorem}[Hippase de Métaponte]
$\sqrt{2}$ est irrationnel.
\end{theorem}

\begin{proof}
Supposons par l'absurde que $\sqrt{2} \in \mathbb{Q}$. Alors il existe deux entiers $p$ et $q$ premiers entre eux tels que :
\[ \sqrt{2} = \frac{p}{q}. \]

En élevant au carré, on obtient $p^2 = 2 q^2$, donc $p^2$ est pair, ce qui implique que $p$ est pair (car le carré d'un impair est impair). Posons $p = 2k$. Alors :
\[ (2k)^2 = 2 q^2 \iff 4k^2 = 2 q^2 \iff q^2 = 2 k^2. \]

Donc $q^2$ est pair, et par le même argument, $q$ est pair. Mais alors $p$ et $q$ partagent le facteur commun $2$, ce qui contredit l'hypothèse $\gcd(p, q) = 1$.

L'hypothèse est donc fausse : $\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}$. \qedhere
\end{proof}

\end{document}