Devoir surveillé Terminale spécialité — étude de fonctions et raisonnement

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\rhead{Devoir de mathématiques}
\lhead{Classe de Terminale spécialité}
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\begin{document}

\begin{center}
{\large\bfseries Devoir surveillé n°3 --- Étude de fonctions et raisonnement}\\[0.3em]
{\small Durée : 2 heures --- Calculatrice autorisée --- Barème sur 20 points}
\end{center}

\noindent\hrulefill

\section*{Exercice 1 \hfill (6 points)}

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$.

\begin{enumerate}[label=\textbf{\arabic*.}]
  \item Calculer $f'(x)$. \hfill \textit{(1 pt)}
  \item Étudier le signe de $f'(x)$. \hfill \textit{(2 pts)}
  \item Dresser le tableau de variations de $f$. \hfill \textit{(2 pts)}
  \item Déterminer les coordonnées des extrema locaux. \hfill \textit{(1 pt)}
\end{enumerate}

\section*{Exercice 2 \hfill (8 points)}

On considère la fonction $g$ définie sur $\,]0, +\infty[\,$ par $g(x) = x \ln(x) - x$.

\begin{enumerate}[label=\textbf{\arabic*.}]
  \item Démontrer que $g'(x) = \ln(x)$. \hfill \textit{(2 pts)}
  \item En déduire les variations de $g$ sur $\,]0, +\infty[\,$. \hfill \textit{(3 pts)}
  \item Déterminer la limite de $g(x)$ lorsque $x \to 0^+$ et lorsque $x \to +\infty$. \hfill \textit{(3 pts)}
\end{enumerate}

\section*{Exercice 3 \hfill (6 points)}

Démontrer par récurrence que pour tout entier $n \geq 1$ :
\[ \sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}. \]

\end{document}