Séries de Fourier — coefficients, série, théorème de Dirichlet

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  \textbf{Remarque.}\itshape\space%
}{\par\smallskip}

\title{Séries de Fourier --- Définitions et convergence}
\author{}
\date{}

\begin{document}
\maketitle

\section{Coefficients de Fourier}

\begin{definition}{Coefficients de Fourier}{coef-fourier}
Soit $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $2\pi$-périodique et continue.
On appelle \textbf{coefficients de Fourier} de $f$ les nombres définis pour $n \in \mathbb{N}^*$ par :
\[
  a_n = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{2\pi} f(x) \cos(nx) \, \mathrm{d}x,
  \qquad
  b_n = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{2\pi} f(x) \sin(nx) \, \mathrm{d}x.
\]
De plus, on pose :
\[
  a_0 = \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} f(x) \, \mathrm{d}x \qquad \text{et} \qquad b_0 = 0.
\]
\end{definition}

\begin{propriete}{Parité}{parite}
Soit $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $2\pi$-périodique et continue.
\begin{itemize}[nosep]
  \item Si $f$ est \emph{paire}, alors $b_n = 0$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.
  \item Si $f$ est \emph{impaire}, alors $a_n = 0$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.
\end{itemize}
\end{propriete}

\section{Série de Fourier}

\begin{definition}{Série de Fourier}{serie-fourier}
Soit $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $2\pi$-périodique et continue.
On appelle \textbf{série de Fourier} de $f$ la série de terme général :
\[
  a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx),
\]
où $a_n$ et $b_n$ sont les coefficients de Fourier de $f$.
\end{definition}

\begin{remarque}
La série de Fourier de $f$ est alors notée :
\[
  \sum_{n \geq 0} \big( a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx) \big).
\]
\end{remarque}

\section{Convergence}

\begin{theoreme}{Théorème de Dirichlet}{dirichlet}
Soit $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $2\pi$-périodique et dérivable.
Alors la série de Fourier de $f$ converge en tout point $x \in \mathbb{R}$, et :
\[
  f(x) = a_0 + \sum_{n=1}^{+\infty} \big( a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx) \big).
\]
\end{theoreme}

\begin{remarque}
Sous des hypothèses plus faibles (par exemple $f$ continue par morceaux et de classe $\mathcal{C}^1$ par morceaux), la série de Fourier converge vers $\dfrac{f(x^+) + f(x^-)}{2}$ en tout point. C'est la version la plus générale du théorème de Dirichlet.
\end{remarque}

\end{document}