Fourier-Reihen — Koeffizienten, Definition, Satz von Dirichlet

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\title{Fourier-Reihen --- Definitionen und Konvergenz}
\author{}
\date{}

\begin{document}
\maketitle

\section{Fourier-Koeffizienten}

\begin{definition}{Fourier-Koeffizienten}{koef-fourier}
Sei $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ eine $2\pi$-periodische, stetige Funktion. Die \textbf{Fourier-Koeffizienten} von $f$ sind die für $n \in \mathbb{N}^*$ definierten Zahlen:
\[
  a_n = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{2\pi} f(x) \cos(nx) \, \mathrm{d}x,
  \qquad
  b_n = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{2\pi} f(x) \sin(nx) \, \mathrm{d}x.
\]
Zusätzlich wird gesetzt:
\[
  a_0 = \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} f(x) \, \mathrm{d}x \qquad \text{und} \qquad b_0 = 0.
\]
\end{definition}

\begin{eigenschaft}{Parität (Symmetrie)}{paritaet}
Sei $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ $2\pi$-periodisch und stetig.
\begin{itemize}[nosep]
  \item Ist $f$ \emph{gerade}, so gilt $b_n = 0$ für alle $n \in \mathbb{N}$.
  \item Ist $f$ \emph{ungerade}, so gilt $a_n = 0$ für alle $n \in \mathbb{N}$.
\end{itemize}
\end{eigenschaft}

\section{Fourier-Reihe}

\begin{definition}{Fourier-Reihe}{reihe-fourier}
Sei $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ $2\pi$-periodisch und stetig. Die \textbf{Fourier-Reihe} von $f$ ist die Reihe mit allgemeinem Glied:
\[
  a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx),
\]
wobei $a_n$ und $b_n$ die Fourier-Koeffizienten von $f$ sind.
\end{definition}

\begin{bemerkung}
Die Fourier-Reihe von $f$ wird notiert als:
\[
  \sum_{n \geq 0} \big( a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx) \big).
\]
\end{bemerkung}

\section{Konvergenz}

\begin{satz}{Satz von Dirichlet}{dirichlet}
Sei $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ $2\pi$-periodisch und differenzierbar. Dann konvergiert die Fourier-Reihe von $f$ in jedem Punkt $x \in \mathbb{R}$, und es gilt:
\[
  f(x) = a_0 + \sum_{n=1}^{+\infty} \big( a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx) \big).
\]
\end{satz}

\begin{bemerkung}
Unter schwächeren Voraussetzungen (z.\,B.\ $f$ stückweise stetig und stückweise $\mathcal{C}^1$) konvergiert die Fourier-Reihe in jedem Punkt gegen $\dfrac{f(x^+) + f(x^-)}{2}$. Dies ist die allgemeinste Form des Satzes von Dirichlet.
\end{bemerkung}

\end{document}