Cours complet d'arithmétique pour la classe de Seconde, conforme au programme : diviseur et multiple (avec preuve de la somme de deux multiples), nombres pairs et impairs (avec preuve par contraposée du carré d'un impair), nombres premiers et crible d'Ératosthène en Python. Mise en forme avec boîtes colorées numérotées (Définition, Propriété, Exemple, Remarque) via tcolorbox. Adapté à partir d'un cours réel utilisé en classe.
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\newtcbtheorem[number within=section]{definition}{Définition}{
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fonttitle=\bfseries, coltitle=white,
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}{def}
\newtcbtheorem[use counter from=definition]{propriete}{Propriété}{
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fonttitle=\bfseries, coltitle=white,
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}{prop}
\newtcolorbox{exemple}{
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title=Exemple, fonttitle=\bfseries, coltitle=white,
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boxed title style={colback=orange!70!black, sharp corners, rounded corners=northwest}
}
\newenvironment{remarque}{%
\par\smallskip\noindent\textcolor{gray!50!black}{\rule{3pt}{1.4em}}\hspace{0.5em}%
\textbf{Remarque.}\itshape\space%
}{\par\smallskip}
\newtheorem*{preuve}{Preuve}
\lstset{
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}
\title{Arithmétique --- Cours de Seconde}
\author{}
\date{}
\begin{document}
\maketitle
\section{Diviseur et multiple}
\begin{definition}{Diviseur, multiple}{div-mult}
Soient $a$ et $b$ deux entiers relatifs. On dit que $a$ est un \textbf{diviseur} de $b$ lorsqu'il existe $k \in \mathbb{Z}$ tel que $b = k \times a$.
\medskip
Si $a$ est un diviseur de $b$, on peut alors dire que :
\begin{itemize}[nosep]
\item $a$ \emph{divise} $b$,
\item $b$ est un \emph{multiple} de $a$,
\item $b$ est \emph{divisible} par $a$.
\end{itemize}
\end{definition}
\begin{exemple}
Le nombre $3$ est un diviseur de $153$ car $153 = 3 \times 51$.
\medskip
\textbf{Liste des diviseurs de $132$ :} on remarque que $132 = 2 \times 2 \times 3 \times 11$. En prenant toutes les combinaisons possibles, la liste des diviseurs de $132$ est :
\[3pt]
\centerline{$1$~;~$2$~;~$3$~;~$4$~;~$6$~;~$11$~;~$12$~;~$22$~;~$33$~;~$44$~;~$66$~;~$132$.}
\medskip
\textbf{Liste des diviseurs de $109$ :} le nombre $109$ ne possède que deux diviseurs, $1$ et $109$.
\end{exemple}
\begin{propriete}{Somme de deux multiples}{somme-multiples}
Soit $a \in \mathbb{Z}$. Si $b$ et $b'$ sont deux multiples de $a$, alors $b + b'$ est aussi un multiple de $a$.
\end{propriete}
\begin{preuve}
Soit $a \in \mathbb{Z}$, et soient $b$ et $b'$ deux multiples de $a$. Il existe $k \in \mathbb{Z}$ tel que $b = a \times k$, et il existe $k' \in \mathbb{Z}$ tel que $b' = a \times k'$. Ainsi :
\[ b + b' = ka + k'a = a(k + k'), \]
donc $b + b'$ est bien un multiple de $a$. \qedhere
\end{preuve}
\section{Nombre pair et nombre impair}
\begin{definition}{Pair, impair}{pair-impair}
Soit $a \in \mathbb{Z}$.
\begin{itemize}[nosep]
\item $a$ est \textbf{pair} s'il est divisible par $2$, c'est-à-dire s'il existe $k \in \mathbb{Z}$ tel que $a = 2k$.
\item $a$ est \textbf{impair} s'il n'est pas divisible par $2$, c'est-à-dire s'il existe $k \in \mathbb{Z}$ tel que $a = 2k + 1$.
\end{itemize}
\end{definition}
\begin{exemple}
$17 = 2 \times 8 + 1$ est un nombre impair. \
$158 = 2 \times 79$ est un nombre pair.
\end{exemple}
\begin{propriete}{Carré d'un impair}{carre-impair}
Soit $a \in \mathbb{Z}$. Si $a$ est impair, alors $a^2$ est impair.
\end{propriete}
\begin{preuve}
Soit $a \in \mathbb{Z}$ un nombre impair. Il existe alors $k \in \mathbb{Z}$ tel que $a = 2k + 1$. Donc :
\begin{align*}
a^2 &= (2k + 1)^2 = (2k)^2 + 2 \times (2k) \times 1 + 1^2 \
&= 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1 = 2N + 1,
\end{align*}
en posant $N = 2k^2 + 2k \in \mathbb{Z}$. Donc $a^2$ est impair. \qedhere
\end{preuve}
\begin{propriete}{Réciproque}{recip}
Soit $a \in \mathbb{Z}$. Si $a^2$ est impair, alors $a$ est impair.
\end{propriete}
\begin{preuve}[Par contraposée]
On montre que « si $a$ est pair alors $a^2$ est pair ». Si $a$ est pair, il existe $k \in \mathbb{Z}$ tel que $a = 2k$. Alors $a^2 = (2k)^2 = 4k^2 = 2 \times (2k^2)$, donc $a^2$ est pair. \qedhere
\end{preuve}
\begin{remarque}
On peut résumer les deux propriétés précédentes en une seule équivalence :
\
\centerline{$a^2$ est impair $\Longleftrightarrow$ $a$ est impair.}
\end{remarque}
\section{Nombres premiers}
\begin{definition}{Nombre premier}{premier}
Un entier naturel non nul est dit \textbf{premier} lorsqu'il possède exactement deux diviseurs distincts : $1$ et lui-même.
\end{definition}
\begin{exemple}
Les nombres $2$, $3$, $5$, $7$, $11$, $13$ sont premiers. \
Le nombre $60$ n'est pas premier : il possède les diviseurs $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $10$, $12$, $15$, $20$, $30$, $60$.
\end{exemple}
\subsection*{Crible d'Ératosthène (algorithme Python)}
Voici un algorithme inspiré du crible d'Ératosthène pour obtenir les nombres premiers inférieurs à $100$ :
\begin{lstlisting}
for i in range(2, 101):
premier = True
for j in range(2, i):
if i % j == 0:
premier = False
if premier:
print(i)
\end{lstlisting}
\end{document}
