Sujet 0 ∼ Spécialité mathématiques
Sujet 1
Évaluation en fin de première
Épreuve anticipée de mathématiques - Sujet 0
Voie générale : candidats suivant l'enseignement de spécialité de mathématiques
Durée: 2 heures. L'usage de la calculatrice n'est pas autorisé.
PREMIÈRE PARTIE: AUTOMATISMES - QCM (6 pts) Pour cette première partie, aucune justification n'est demandée et une seule réponse est possible par question. Pour chaque question, reportez son numéro sur votre copie et indiquez votre réponse.

Question 1
L'inverse du double de 5 est égal à :
  1. $\dfrac{2}{5}$
  2. $\dfrac{1}{10}$
  3. $\dfrac{5}{2}$
  4. $10$
Question 2
On considère la relation $F = a + \dfrac{b}{cd}.$
Lorsque $a = \dfrac12,\: b = 3,\: c = 4,\: d = - \dfrac14$, la valeur de $F$ est égale à :
  1. $-\dfrac{5}{2}$
  2. $-\dfrac{3}{2}$
  3. $\dfrac{5}{2}$
  4. $\dfrac{3}{2}$
Question 3
Le prix d'un article est multiplié par $0,975$.
Cela signifie que le prix de cet article a connu :
  1. une baisse de $2,5 \%$
  2. une augmentation de $97,5 \%$
  3. une baisse de $25 \%$
  4. une augmentation de $0,975 \%$
Question 4
Le prix d'un article est noté $P$. Ce prix augmente de $10\,\%$ puis baisse de $10\,\%$.
À l'issue de ces deux variations, le nouveau prix est noté $P_1$. On peut affirmer que:
  1. $P_1=P$
  2. $P_1 > P$
  3. $P_1 < P$
  4. Cela dépend de $P$
Question 5
On lance un dé à $4$ faces.
La probabilité d'obtenir chacune des faces est donnée dans le tableau ci-dessous :
Face numéro $1$ Face numéro $2$ Face numéro $3$ Face numéro $4$
$0,5$ $\dfrac{1}{6}$ $0,2$ $x$
On peut affirmer que :
  1. $x=\dfrac{2}{5}$
  2. $x=\dfrac{2}{3}$
  3. $x=0,4$
  4. $x=0,1$
Question 6
On considère $x,\:y, u$ des réels non nuls tels que $\dfrac 1x + \dfrac 1y = \dfrac 1u$.
On peut affirmer que :
  1. $u = \dfrac{xy}{x + y}$
  2. $u = \dfrac{x + y}{xy}$
  3. $u = xy$
  4. $u = x + y$
Question 7
On a représenté ci-dessous la parabole d'équation $y = x^2$.
On note $(\mathcal{J})$ l'inéquation, sur $\mathbb{R}$, : $x^2 \geqslant 10$.
L'inéquation $(\mathcal{J})$ est équivalente à :
  1. $u = \dfrac{xy}{x + y}$
  2. $u = \dfrac{x + y}{xy}$
  3. $u = xy$
  4. $u = x + y$
Question 8
On a représenté ci-dessous une droite $\mathcal{D}$ dans un repère orthonormé.
Une équation de la droite $\mathcal{D}$ est:
  1. $y=-\dfrac{3}{2}x+2$
  2. $y=\dfrac{2}{3}x+2$
  3. $2x-3y-6=0$
  4. $\dfrac{x}{3}+\dfrac{y}{2}-1=0$
Question 9
On considère trois fonctions définies sur $\mathbb{R}$ :

$f_1:x\longmapsto x^2-(1-x)^2$ 5 $f_2:x\longmapsto \dfrac{x}{2}-\left(1+\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)$ 5 $f_3:x\longmapsto \dfrac{5-\frac{2}{3}x}{0,7}$

Parmi ces trois fonctions, celles qui sont des fonctions affines sont :
  1. aucune
  2. toutes
  3. uniquement la fonction $f_1$
  4. uniquement les fonction $f_2$ et $f_3$
Question 10
On a représenté ci-dessous une parabole $\mathcal{P}$.
Une seule des quatre fonctions ci-dessous est susceptible d'être représentée par la parabole $\mathcal{P}$.
Laquelle ?
  1. $x \longmapsto x^2 - 10$
  2. $x \longmapsto -x^2 - 10$
  3. $x \longmapsto x^2 + 10$
  4. $x \longmapsto x^2 +10x$
Question 11
On a représenté ci-dessous la courbe $\mathcal{C}$ d'une fonction $f$.
Les points $A$, $B$, $R$ et $S$ appartiennent à la courbe $\mathcal{C}$.
Leurs abscisses sont notées respectivement $x_{A},\: x_{B},\: x_{R}$ et $x_{S}$.
L'inéquation $x \times f(x) > 0$ est vérifiée par :
  1. $x_A$ et $x_B$
  2. $x_A$ et $x_R$
  3. $x_A$ et $x_S$
  4. $x_A$, $x_B$ et $x_S$
Question 12
Voici une série de notes avec les coefficients associés.
Note $10$ $8$ $16$
Coefficient $1$ $2$ $x$
On note $m$ la moyenne de cette série.
Que doit valoir $x$ pour que $m = 15$ ?
  1. impossible
  2. $x=10^{-3}$
  3. $x=3$
  4. $x=19$
DEUXIÈME PARTIE (14 pts) On considère la figure suivante, représentée dans un repère orthonormé $(O;\,\vec{i},\,\vec{j})$.
On dispose des données suivantes:
  1. Le quadrilatère $\text{OABC}$ est un carré de côté $4$ ;
  2. On a $\text{A}(4\,;\,0)$, $\text{B}(4\,;\,4)$, $\text{C}(0\,;\,4)$, $\text{I}(4\,;\,3)$ ;
  3. Le point $\text{H}$ est le projeté orthogonal du point $\text{C}$ sur la droite $(\text{OI})$ ;
  4. On note $\mathcal{E}$ le cercle de centre $\text{D}(2 \,; \,2)$ et de rayon $0,5$.
Aide au calcul :

$0,5^2 = 0,25$
$1,5^2 = 2,25$
$2,5^2 = 6,25$
$5 \times 2,4 = 12$
    1. Déterminer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{\text{OI}}$ et $\overrightarrow{\text{OC}}$.
    2. En déduire le produit scalaire $\overrightarrow{\text{OI}}\cdot \overrightarrow{\text{OC}}$.
    1. Exprimer le produit scalaire $\overrightarrow{\text{OI}} \cdot \overrightarrow{\text{OC}}$ en fonction des longueurs OH et OI.
    2. Calculer la longueur $\text{OI}$.
    3. En déduire que $\text{OH} = 2,4$.
    1. Déterminer une équation cartésienne de la droite $(\text{CH})$.
    2. Justifier qu'une équation du cercle $\mathcal{E}$ est : $$x^2 + y^2 - 4x - 4y + 7,75 = 0.$$
    3. Le point $\text{M}(1,5 \, ; \, 2)$ appartient-il à l'intersection du cercle $\mathcal{E}$ et de la droite $(\text{CH})$ ? Justifier.
On se place dans un repère $(O;\,\vec{i},\,\vec{j})$ orthogonal.
  1. On considère la fonction $g$ définie pour tout réel $x$ par $$g(x) = x^2 - 5x + 4.$$ On note $\mathcal{P}$ la courbe représentative de la fonction $g$.
    1. Étudier le signe de la fonction $g$ sur $\mathbb{R}$.
    2. On considère un entier naturel $n$ quelconque.
      On note $\text{A}_n$ le point de la courbe $\mathcal{P}$ d'abscisse $n$.
      On note $a_n$ le coefficient directeur de la droite $(\text{A}_n\text{A}_{n+1})$.
      Justifier que pour tout entier naturel $n$, on a $a_n = 2n - 4$.
    3. Quelle est la nature de la suite $(a_n)$ ?
  2. On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0,5 \,; \,8]$ par $$f(x) = x - 5 + \dfrac 4 x.$$ On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$.
    1. Vérifier que pour tout réel $x$, de l'intervalle $[0,5 \,; \,8]$ on a $f(x) =\dfrac{ g(x)}{x}$.
    2. À l'aide de la question 1. a, déterminer la position de la courbe $\mathcal{C}$ par rapport à l'axe des abscisses.
    3. On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $[0,5 \,; \,8]$.
      Montrer que tout réel $x$ de l'intervalle $[0,5 \,; \,8]$ on a : $$f'(x) = \dfrac{(x - 2)(x + 2)}{x^2}.$$
      4. .
    4. En déduire le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0,5 \,; \,8]$.
    5. Réaliser un schéma de l'allure de la courbe $\mathcal{C}$ sur lequel apparaîtront les résultats des questions 2.b et 2.d.